概要

これは Keith Conrad 氏のノート “The Sylow Theorems”を元にした， Sylow （シロー）の定理の証明とその応用についてのノートです． Sylow の定理は次の定理です．

$ \newcommand{\Syl}{\operatorname{Syl}} $ 任意の有限群$G$について， その位数が素数$p$，$p$に互いに素な正数$m$，そして非負整数$n$によって $|G|=p^{n}m$と表されるとする． 更に群$G$の$p$-Sylow部分群全体の集合を$\Syl_p(G)$とおく．以下が成り立つ．

1. $G$は$p$-Sylow部分群を持ち(すなわち$\Syl_p(G) \neq \emptyset$)，またこれは$G$の任意の$p$-部分群を含む．
2. $G$の全ての$p$-Sylow部分群は互いに共役である．
3. $\lvert\Syl_p(G)\rvert \equiv 1 \mod p$.
4. 任意の$p$-Sylow部分群$P$について $\lvert\Syl_p(G)\rvert = [G : \operatorname{Norm}_G(P)]$
5. $\lvert\Syl_p(G)\rvert$ は $m$ の約数である．

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